Türevin gerçekten ne olduğunu bildiğinizi sanıyor musunuz ?
İyi düşünün 🙂
Yıllardır bizlere öğretilen ve bir çoğumuzun zorlandığı bir konuyu sizlerle paylaşacağım. Konuyu Youtube’ta gezerken şansıma bir kanalda keşfettim ve sizlere de bu ilginç ve bir o kadar da anlamanızı sağlayacak yazıyı yazmak istedim. Kanal ismini en altta link olarak verdim bu arada 🙂
Bu yazıda sizlere türev “üssünü başa getir, üssü bir azalt ” gibi sıradan matematik sözlerini yazmayacağım. Türev alma kurallarını da yazmayacağım. Bu yazı sizlere matematiğe farklı bir bakış açısı kazandırıp ezberden çok kafanızda canlandıracağımdan emin olabilirsiniz.
Peki nedir bu “Türev ?” Kitaplarda bize öğretilen şuydu “Bir değişkende meydana gelen en küçük değişimdir“.
Aşağıdaki resmi uzayda tekil bir nokta olarak düşünün.
Tekil bir noktayı daha fazla büyütemeyiz. Çünkü en küçüktür. Onu oluşturan başka bir yapı taşı yoktur. Sabitin türevi bilindiği gibi “0(sıfır)” dır. Türev “1” değişkeninin mümkün olabilecek en küçük değişikliğidir. Yani onu oluşturan bir yapı yoktur başka.
Şimdi çizgi oluşturmak isteyelim. Bunun için yukarıdaki noktadan sonsuz sayıda olması gerekir. Nokta, çizginin yapı taşıdır.
Şimdi bu çizgiyi mümkün olan en küçük değeri kullanarak, çizgimizi biraz daha uzatabilir miyiz ?
Bunu yapabilmemiz için çizgimize bir nokta eklersek çizgimiz uzamış olur. İşte bu kırmızı noktayı çizgimize eklediğimizde çizgimizde en küçük değişikliği meydana getirmiş olduk.
Gördüğünüz bu nokta X uzunluğunun türevidir. f(x)=X ise f(x)’=1 oluyor. işte 1 değeri eklediğimiz bir noktanın değeridir. Biz burada türevi artan yönünde aldık. Eğer negatif bir durum olsaydı 1 nokta silmiş olacaktık.
Yukarıdaki kare neredeyse sınırsız çizgilerden oluşmuştur.
Şimdi bu kareyi biraz büyütmek isteyelim.
Görüldüğü üzere büyütmek istediğimizde 2 adet çizgi gerekiyor.
Karemiz azda olsa büyüdü. Bunu karenin en küçük yapı taşı olan 2 adet çizgi ile gerçekleştirdik. Çizgiler o kadar ince ki yani sonsuza yakın incelikte. İşte bu mümkün olan en küçük büyümedir.
Ortadaki gri alanı sildiğimiz zaman kalan kısım bizim türevimiz olmaktadır.
X+X=2X f(x)=X^2 => f(x)’=2X
Umarım buraya kadar anlamışsınızdır 🙂
Zaten buraya kadar geldiyseniz siz de öğrenme aşkı var demektir 🙂
Şimdi de bir küp düşünelim.
Küpte neredeyse sınırsız sayıda bir araya gelmiş karelerden oluşur. Şimdi ise küpü çok az büyütmek isteyelim. Yani mümkün olan en küçük büyümeyi. Bunu yapabilmemiz için küpün en küçük yapı taşı olan kare ile yapabiliriz.
Küpü 3 yüzeyine birer adet kare ekleyerek yapabiliriz. Diyebilirsiniz 6 yüzüne neden yapmadık. Amacımız neydi küpü mümkün olan en küçük miktarda büyütmek.
Şimdi ise içeride kalan gri küpü silersek bize x^3 ifadesinin en küçük büyüme miktarını yani türevini verecektir.
x^2+x^2+x^2 = 3x^2
f(x) = x^3 ise f(x)’=3x^2 değerine eşit oluyor.
Türev aynı zamanda bir eğimi ifade ettiklerini derslerimizde görürüz ama bu eğim neyin eğimi ? Kime göre, neyi referans alarak eğim ifadesini kullanıyoruz.
Yukarıda gördüğünüz gibi değişkenlere bir türev uygulandığında uzayda kapladıkları hacim artar ya da azalır. Bu değişimler uzayda bir kütle çekimden dolayı sanal uzay-zamanda bulundukları bölgede eğik alanlar oluşturur.
Aklınızda canlanması için aşağıdaki görsele bakabilirsiniz.
Biz türev aldığımız da aynı zamanda bu eğrilerin eğimlerini hesaplamış oluyoruz.
Gördüğünüz gibi türevin gerçek anlamı budur arkadaşlar.
Yani bir değişkeni biraz büyütmek ya da küçültmek istediğimizde onu değiştiren en küçük yapılardır.
Amacım sizleri ezber yönteminden uzaklaştırmak. Artık sizler de türevi böyle gözünüzde canlandırarak ne anlama geldiğini anlayabilirsiniz.
Kısaca toparlayacak olursak eğer, türev bir değişkende gerçekleştirebileceğimiz en küçük değiştirmedir.
Bu tarz yazılarım ile sizlerin ezberini bozdurup soyut olarak değil kavramsal olarak açıklamaya çalışacağım.
Aşağıdaki linkten kanala ulaşabilirsiniz. Sizlerin de böyle güzel ve yararlı bulduğunuz kanallar varsa yorumda belirtebilirsiniz 🙂
Kaynak : Neandertal Academy NA
Leave a Comment